截斷誤差（truncation error）
當你把導數換成差商時，你悄悄丟掉了函數真實行為的一部分。截斷誤差正是你丟掉的那一部分——微分算子與你用來取代它的差分算子之間的落差。這個名字來自泰勒定理：一個差商等於導數加上一條無窮的高階項尾巴，而公式只保留前端、把其餘的「截斷」掉。
把這點講具體。泰勒展開給出 u(x+h) = u(x) + h u_x + (h^2/2) u_xx + (h^3/6) u_xxx + ...。減去 u(x)、除以 h，前向差分就等於 u_x + (h/2) u_xx + ...——於是它把導數高估了約 (h/2) u_xx，誤差正比於 h。中央差分由對稱性會消去 h 這一項，留下正比於 h^2 的誤差。若一個格式的局部截斷誤差是 O(h^p)，我們就說它是 p 階：把精確解代入離散方程，剩下的殘差會像 h^p 那樣縮小。階數越高，加密網格時誤差下降越快——把 h 減半會把一階誤差砍成一半，卻把二階誤差砍成四分之一。
截斷誤差是數值偏微分方程理論的三大支柱之一：當一個格式的截斷誤差隨網格加密而趨於零時，就稱它為相容。相容是必要的，但單靠它並不足以保證數值解逼近真解——一個相容的格式若不穩定，仍可能爆破。這正是拉克斯等價定理的全部內容，也是為何截斷誤差本身永遠無法判定一個方法是否可行。
標準的二階導數樣板 (u(x+h) - 2u(x) + u(x-h))/h^2 等於 u_xx + (h^2/12) u_xxxx + ...。它的截斷誤差是 (h^2/12) u_xxxx——二階，且在四階導數（曲率之曲率）較大處明顯更大。
一個二階樣板；其誤差由真解的四階導數所主導。
不要把局部截斷誤差（單一步的殘差）與全域誤差（最終答案中累積的誤差）混為一談。它們的階數可以不同，一個在局部表現良好的格式，若不穩定，在全域上仍可能毫無用處。