修正方程（modified equation）

你寫了一個格式去解某個偏微分方程，但由於截斷誤差，格式實際上解的是一個略有不同的偏微分方程——而且解它比解你想要的那個更忠實。修正方程就是這個「格式真正在解的偏微分方程」：原方程加上若干額外項，恰好刻畫離散化如何扭曲一切。它是理解一個格式性格時最具啟發性的單一診斷工具。

其構造如下。取你的差分格式，把每一項繞單一點作泰勒展開，不只保留主誤差，還多留一兩項。接著有系統地利用方程本身，把任何殘留的時間導數轉換為空間導數（因為例如 u_tt 可藉偏微分方程重新表示）。剩下的便是附加了導數項的原偏微分方程：u_t + a u_x = b2 u_xx + b3 u_xxx + b4 u_xxxx + ...，其中係數 b 依賴於 dt、h 與波速。現在讀出它的性格：像 b2 u_xx（b2 > 0）這樣的偶數階項是耗散——它平滑，就是數值擴散；像 b3 u_xxx 這樣的奇數階項是色散——它使不同波長以不同速度行進，產生尾隨的振盪。主項 b 的正負與大小立刻告訴你，格式會抹糊、振盪，還是（若 b2 < 0）不穩定。

這正是修正方程備受珍視的原因：它以偏微分方程的誠實語言解釋了，為何低階迎風格式具耗散性、為何拉克斯-溫德羅夫格式（其主誤差為三階）具色散性並在震波附近鈴振、以及為何具負偶數階係數的格式會爆破——反擴散就是不穩定。它把離散世界連回你已經理解的連續世界。提醒：它是一種形式上的漸近工具（一個在網格加密時有效的展開），而非行為的嚴格證明，這條級數不該推得太遠。