三角插值（trigonometric interpolation）
對「重複」的資料——每日溫度週期、聲波、行星軌道——多項式是錯誤的工具。對週期資料，你想要本身就重複的積木：正弦與餘弦。三角插值用正弦與餘弦之和（一個三角多項式）恰好穿過週期樣本，使插值自然地以與資料相同的週期循環。
給定一個週期上 N 個等距樣本，你尋找係數，使形如 a_0 + sum_k (a_k cos(k x) + b_k sin(k x)) 的和命中每個樣本點。等價地，用複指數，你把插值寫成 sum_k c_k e^(i k x)，而係數 c_k 恰好是樣本值的離散傅立葉轉換（DFT）。這就是那個優美的連結：等距點上的三角插值「就是」DFT，所以係數不是靠解任何線性方程組，而是靠快速傅立葉轉換（FFT）以 O(N log N) 時間算出——快得驚人。把插值算回樣本格點則是逆 FFT。對平滑的週期函數，精度極為出色：誤差衰減得比任何 1/N 的冪都快（譜精度），遠遠超過等距多項式插值所能達到的。
三角插值是訊號處理、譜方法偏微分方程求解器，以及任何週期現象分析的底層，正因為 FFT 使它便宜，而它對平滑週期資料的精度無與倫比。兩個誠實的提醒。其一，它要求資料在完整週期上「均勻」取樣，並假設真正的週期性——餵給它一個非週期函數（或週期不符）會在接縫處產生虛假的搖擺，一種洩漏假影。其二，取樣太稀疏會使高頻偽裝成低頻（混疊）：你必須以高於奈奎斯特率的速率取樣，才能還原真實的頻率。
在 [0, 2pi) 上於 8 個等距點取樣一個週期訊號。對這 8 個值取 FFT 得到 8 個傅立葉係數；把它們讀回為正弦與餘弦之和，給出一個穿過全部 8 個樣本、並以週期 2pi 平滑重複的三角多項式——全部只需少數幾次 FFT 運算。
在均勻格點上，插值係數「就是」FFT。
三角插值假設資料真正「週期」且均勻取樣。用於非週期資料會產生接縫搖擺（洩漏），而取樣太粗會造成混疊——高頻偽裝成低頻。請以高於奈奎斯特率取樣。