樹圖與圈圖（tree-level vs loop diagrams）

想像一棵家譜樹：它向外分叉，從不繞回自身。有些費曼圖就是這樣——線條分裂又匯合，卻從不形成閉合的回路。這類圖叫做樹圖（tree-level diagram），它給出一個過程發生機率的最簡單的領頭估計。另一些圖則含有一個閉合的圈，內部的粒子線繞了一圈又回來，像一條短暫打轉再繼續的路。這類圖叫做圈圖（loop diagram），它們是為答案做精細調校的量子修正。

這種區別並非只是外表。樹圖沒有閉合的圈，所以它的值只靠把各零件直接相乘就能求出。圈圖則包含一個（或幾個）虛粒子，它憑空出現、繞一圈、再消失；因為圈所攜帶的能量和動量並不由入射粒子固定，你必須把圈可能攜帶的所有取值都加起來——這個求和會變成一個積分。每多一個圈也會多出頂點，所以圈圖帶著額外次方的耦合，通常是疊加在樹圖結果之上的較小修正。一圈是小修正；兩圈，更小。

圈圖既是量子場論精度的來源，也是它頭痛的來源。它們產生那些微小而可測的偏移——比如電子的反常磁矩，其預言與測量吻合到小數點後十多位——這是科學史上最偉大的勝利之一。但圈積分起初常常算出無窮大，要馴服這些無窮大，需要重整化（renormalization）這套精細的機制。坦白說，計算多圈極其困難，所以更高階的預言本身就是一項重大的研究工程。