積分的變換（transform of an integral）

如果對函數微分對應於把它的變換乘以 s，你也許會猜：積分——相反的運算——對應於除以 s。這個猜測完全正確，它給出導數規律的搭檔規律：一個乾淨地變換累積量的方法。

規律是 L{ integral from 0 to t of f(tau) d tau } = F(s) / s。換句話說：若 g(t) 是 f 的累積積分（從 0 到當前時刻 t 之間 f 下方的面積），則 g 的變換就是 f 的變換除以 s。微分把一個 s 因子提到前面，積分則把一個 s 因子推進分母——是鏡像。這裡沒有殘留的邊界項，因為累積積分從 0 開始，所以在 t = 0 時值為 0；初始條件自動為零。

這條規律在兩個方向上都好用。正向，它能變換含有未知函數之積分的方程或系統——例如帶電容的電路所給的積分微分方程，其中電荷是電流的積分。反向，它給出一個反演技巧：若你能把 F(s) 反演成 f(t)，則 F(s)/s 反演成 f 的積分，所以 s 域中多一個 1/s 因子就表示「把答案積分一次」。這把某些棘手的反演變成熟悉的積分。