曲線的撓率（torsion）

取一條鐵絲彎曲它：到此為止它仍是平的，躺在單一平面內，像紙上的圖。現在扭它，使它升出那個平面，像螺旋梯或螺絲起子般攀升。曲率度量了彎曲；撓率度量這額外的扭轉——空間曲線扭出它當下所彎曲之平面的速率。停留於一個平面的曲線撓率為零；螺絲起子的撓率非零。

精確地說，撓率關乎密切平面——由切向量 T 與主法向量 N 張出的平面，即曲線瞬間於其內彎曲的平面。副法向量 B 是垂直於該平面的單位向量，所以觀察 B 如何變化便知密切平面在空間中如何傾倒。撓率 tau（在標準正負號約定下）由 B'(s) = -tau N 定義：當你行進一單位弧長，副法向量沿 N 方向擺動 tau 的量，而 tau 恰是這擺動的速率。若 tau = 0，副法向量是常向量，密切平面從不移動，曲線便平躺於該平面內。一般參數化的計算公式為 tau = (r' x r'') . r''' / |r' x r''|^2，即前三階導數的純量三重積除以外積長度的平方。

撓率是釘住空間曲線的兩個數中的第二個。單憑曲率無法分辨一段平坦的圓弧與一段彎得同樣尖、卻向上升的螺旋弧——它們曲率相同而撓率不同。曲率與撓率作為弧長的函數合起來，便唯一地決定曲線到剛體運動為止：這就是曲線基本定理。誠實的提醒。其一，撓率確是三維概念：平面曲線恆有 tau = 0，所以撓率只對離開平面的曲線承載資訊。其二，撓率（如其所依的副法向量）需要曲率非零才有定義，因為直線段沒有可扭出的密切平面。其三，撓率的正負號依約定而定，不同教科書可能差一個負號——比較公式前先確認約定。