曲線基本定理（fundamental theorem of curves）

想像你只用兩個旋鈕為某人提供蜿蜒山路的駕駛指示：一個說每一刻轉得多尖，另一個說傾出當下平面多少。曲線基本定理的論斷在其簡潔上令人驚嘆：這兩個沿途讀取的旋鈕，包含了道路的完整形狀。別無所需——整條空間曲線僅憑其曲率與撓率即可復原。

謹慎地陳述：給定實變數 s（弧長）的任意兩個光滑函數 kappa(s) > 0 與 tau(s)，曲率嚴格為正，則「存在」一條以弧長參數化的正則空間曲線，恰以 kappa 為其曲率、tau 為其撓率；且此曲線「唯一」到剛體運動為止——即任兩條有相同 kappa(s) 與 tau(s) 的曲線，可由一個旋轉連同一個平移（依約定或加上一個反射）互相搬移。其證明是福雷內-塞雷公式的乾淨應用：那些公式構成標架 (T, N, B) 的線性微分方程系統；微分方程的存在唯一性定理保證一旦固定起點的標架便有唯一的標架，再積分 T = r'(s) 即重建曲線。曲率給出彎曲的存在性，撓率給出扭轉的存在性，兩者一起積分而成整條曲線。

這定理正是曲率與撓率被稱為空間曲線完整不變量組的原因：它們擷取形狀的一切，而不含其在空間中的位置或定向。它是曲線理論中對應「角與邊的資料能將三角形定到全等」之想法的類比。兩點誠實的說明。其一，「到剛體運動為止」是本質而非缺陷：定理刻意忽略你把曲線擺在何處，因為位置不屬於內蘊形狀——兩張不同桌上的相同彈簧對此定理而言是同一條曲線。其二，標準陳述要求處處 kappa > 0；曲率消失之處撓率甚至未定義，故乾淨版本適用於每一點都真正彎曲的曲線，跨越 kappa = 0 之點的推廣需額外小心。