弱收斂拓樸
弱收斂被定義為一種收斂序列的概念。但要使用緊性、映射的連續性以及點集拓樸的全部力量，你會希望它是一個誠實的拓樸，有開集，而不只是一個關於序列的配方。弱收斂拓樸就是 P(S) 上的那個拓樸：使所有求值映射 mu |-> integral f dmu（f 跑遍 C_b(S)）連續的最粗拓樸。
具體而言，mu 的一個基本開鄰域由所有滿足「對有限多個有界連續函數 f_1, ..., f_k 有 |integral f_i dnu - integral f_i dmu| < epsilon」的 nu 組成。這正是 P(S) 作為 C_b(S) 對偶空間子集所繼承的弱星拓樸。其收斂序列恰好是弱收斂的那些，即對所有 f in C_b(S) 有 integral f dmu_n -> integral f dmu，所以對序列而言它與你已熟知的定義一致。當 S 可分且可度量化時，這個拓樸本身可度量化，用 Levy-Prokhorov 或有界利普希茨度量，所以序列就足夠，你無需糾纏於網。
兩個警告讓這保持誠實。其一，這裡的「弱」是泛函分析的弱星拓樸，而非巴拿赫空間的弱拓樸；這個用語濫用在機率學中無所不在，但值得知道。其二，在非緊的 S 上，P(S) 不緊，質量可能逃逸到無窮遠，這正是為何普羅霍羅夫定理需要緊性來刻畫相對緊性。當 S 緊時，P(S) 緊（由巴拿赫-阿勞格魯定理，因為 P(S) 是 C(S) 對偶單位球的弱星閉子集），日子就簡單得多。
在 S = R（非緊）上，序列 mu_n = delta_n 朝無窮遠行進。它在 P(R) 中沒有弱收斂的子序列：對任何候選極限以及有界連續函數 f(x) = cos(x)，積分 integral f dmu_n = cos(n) 甚至不收斂。族 {delta_n} 不緊，說明 P(R) 不緊。
非緊空間上的質量逃逸：P(R) 缺乏緊性，故無緊性假設時弱極限可能不存在。
弱拓樸確實比全變差拓樸弱。delta_{1/n} -> delta_0 弱收斂，但全變差距離 ||delta_{1/n} - delta_0|| = 2 對所有 n 成立。切勿混淆兩者。