有界利普希茨度量
/ LIP-shits /
Levy-Prokhorov 度量度量弱收斂但藉由對集合取下確界這個彆扭方式定義；Wasserstein-1 度量是對利普希茨函數取上確界的乾淨形式，但當質量逃向無窮時會爆掉（它看得見尾部）。有界利普希茨（或杜德利）度量是兩全其美的折衷：像 Wasserstein-1 一樣乾淨的對偶範數公式，但用「有界」利普希茨測試函數，故它保持有限並恰好度量整個 P(S) 上的弱收斂。
在度量空間 (S, d) 上，函數 f 的有界利普希茨範數為 ||f||_BL = ||f||_infinity + Lip(f)，其中 ||f||_infinity 是上確界範數、Lip(f) 是最小利普希茨常數。機率測度之間的有界利普希茨距離為 d_BL(mu, nu) = sup { integral f dmu - integral f dnu : ||f||_BL <= 1 }。因為測試函數既有界又利普希茨，無窮遠處逃逸的質量被抑制（有界性封頂其貢獻），而局部差異仍被感知（利普希茨部分）。基本定理：在可分度量空間上，d_BL 度量弱收斂拓樸，d_BL(mu_n, mu) -> 0 當且僅當 mu_n => mu。此外 d_BL 與 Levy-Prokhorov 度量拓樸等價，甚至滿足明確的雙邊界（各自被對方的某次方控制）。
它的實用優點是真實的。對偶公式對求導友善且易於估計，所以 d_BL 是許多定量弱收斂結果、Stein 方法對常態距離界、以及經驗過程與機器學習設定（積分機率度量的觀點推廣了它）的首選度量。相較 W_1，它從不發散，因為有界利普希茨函數的單位球包含於以 1 為界的函數中；相較 Levy-Prokhorov，它對函數取上確界的形式更容易手算界定。簡言之，它是恰好度量弱收斂的最方便度量。
對逃逸例子 nu_n = (1-1/n) delta_0 + (1/n) delta_n，任何 ||f||_BL <= 1 的有界利普希茨 f 都有 |f| <= 1，故 |integral f dnu_n - f(0)| <= (1/n)|f(n) - f(0)| <= (1/n)*2 -> 0。因此 d_BL(nu_n, delta_0) -> 0，正確地登錄弱收斂，而 W_1 卻停在 1。有界性馴服了逃逸的質量。
測試函數的有界性使 d_BL 忽略遠處質量，故它度量弱收斂而 W_1 不然。
去掉有界性就得到 W_1，它不再度量整個 P(S) 上的弱收斂（它加上一階動差收斂）。兩者只在均勻可積族上一致；有界利普希茨中的「有界」部分起著本質作用。