切換電路的響應（response of a switched circuit）

在電路裡扳動開關，總得發生點什麼：電容無法瞬間充電，電感抵抗電流的突變，所以開關之後會有短暫的一陣騷動——突波、振鈴、安定——電路才達到新的穩態。切換電路的響應，就是電流與電壓從切換那一刻起的整個故事，而拉普拉斯變換是計算它的天然工具。

用微分方程為電路建模（對 RLC 迴路，L q'' + R q' + (1/C) q = E(t)），並用亥維賽階躍表示切換事件：在 t = 0 接通的電池使強迫項 E(t) = V u(t)。對方程變換，把電容初始電荷與電感初始電流作為內建初值吸收進去，解出所得的代數方程求 Q(s) 或 I(s)，再反變換。答案自然分成兩部分：暫態（由電路極點決定的衰減項——開關後短暫的振鈴）加上穩態（電路鬆弛趨向的常數或正弦）。階躍函數讓你處理稍後才斷開的開關、或會切換的電源，都不需額外理論。

這是不連續強迫工具箱的招牌應用之一。它解釋了你拔插頭時的火花（電感對抗電流的突然切斷）、通電時的湧入電流、以及緩衝器與濾波器的設計。同一套方法——階躍函數強迫、變換、暫態加穩態的分解——涵蓋施加於線性電路的任何突變。