用留數求級數和（summation of series by residues）
留數不只求積分——它們也求無窮級數和。像 1/n^2 對 n 的和、或 1/(n^2 + a^2) 的和，直接相加可能很難，但有個優美的技巧：找一個在整數處的留數恰好是你想相加的各項的函數，把它繞一條大圍道積分，並讓圍道增長到積分消失，逼出所有留數的和為零——再重排成你級數的值。
引擎是函數 pi cot(pi z)。它的奧妙性質：它在每個整數 n 處有單極點，且 pi cot(pi z) 在 z = n 處的留數恰好是 1，對每個整數 n 皆然。所以 pi cot(pi z) 乘以 g(z) 在每個整數 n 處的留數等於 g(n)（當 g 在那裡正則時）。現在把 pi cot(pi z) g(z) 繞一條半邊長 N + 1/2 的大方形圍道積分（如此選以避開極點）。可以證明 pi cot(pi z) 在這些方形上保持有界，故對衰減夠快的 g，當 N 增大時圍道積分趨於 0。由留數定理該積分等於 2 pi i 乘以（g(n) 對所有整數的和，加上 g 自身極點處的留數），令其為 0 便得：g(n) 對所有整數 n 的和 = 負的 pi cot(pi z) g(z) 在 g 各極點處的留數和。對交錯級數，改用 pi csc(pi z) = pi / sin(pi z)，它在 n 處的留數是 (-1)^n。
這就是人們如何優雅地推出例如從 n = 1 到無窮的 1/n^2 之和 = pi^2 / 6 的方法，方法是取 g(z) = 1/z^2、讀出 pi cot(pi z)/z^2 在原點處的留數。此法生動地展示了留數定理是離散和與連續積分之間的一般橋樑。唯一的誠實要求：g 必須衰減夠快（通常像 1/z^2），大圍道積分才會消失；否則記帳中會多出一個存活項。
取 g(z) = 1/z^2，函數 pi cot(pi z)/z^2 在 z = 0 處留數為 -pi^2/3。令所有留數之和為零，逼出 2 倍的 n >= 1 的 1/n^2 之和加上 (-pi^2/3) = 0，得 n >= 1 的 1/n^2 之和 = pi^2/6。
用 pi cot(pi z)（每個整數處留數 1）或 pi csc(pi z)（留數 (-1)^n）作為求和核。
核 pi cot(pi z) 給普通和；pi csc(pi z) 藉其 (-1)^n 留數給交錯和。此法需要 g 衰減夠快，使大方形積分趨於零——沒有那衰減，恆等式會多帶一項。