隨機微分方程（stochastic differential equation）
普通微分方程描述某物如何平滑演化：它給出每一瞬的變化率，像「人口每年成長 3 %」，你積分就得到軌跡。隨機微分方程（SDE）描述的演化部分被操控、部分被隨機雜訊衝擊。它是任何「具有一個趨勢『加上』抖動」之物的自然模型：一檔股價邊抖邊向上漂移、一個粒子邊被拉向中心邊被踢來踢去、一個族群邊有趨勢邊被隨機擾動。SDE 是雜訊世界的運動方程式。
標準形式有兩塊：dX = a(X, t) dt + b(X, t) dB。第一項 a(X, t) dt 是漂移——平滑、可預測的趨勢，運動的平均方向。第二項 b(X, t) dB 是擴散——隨機的踢動，一個被波動率 b(X, t) 縮放的布朗增量，而這個波動率本身可以取決於你在哪裡、在何時。把整件事讀作：「在下一瞬，X 移動一個平均量 a dt『加上』一個典型大小為 b 乘以 sqrt(dt) 的隨機抖動」。關鍵是這是一種簡寫。因為 dB 不是真正的微分，SDE 唯一嚴格的意義是它的積分形式 X(t) = X(0) + 「integral of a ds」+ 「integral of b dB」，其中最後一項是伊藤積分。你解 SDE 不靠普通積分，而靠伊藤引理——猜一個 B 的函數，用伊藤法則檢查它是否產生正確的漂移與擴散。
SDE 是計量金融、物理、生物與工程的工作語言。幾何布朗運動（Black-Scholes 股票模型）、Ornstein-Uhlenbeck 過程（均值回歸）、以及帶雜訊的族群與流行病模型全都是 SDE。每一個都透過 Feynman-Kac 公式連結到一個關於其機率密度的偏微分方程。兩個誠實的提醒：第一，SDE 只有在配上其隨機積分的某種詮釋時才有意義——伊藤讀法（金融的預設）與 Stratonovich 讀法（物理常見）給出確實不同的解，所以你必須說清楚你指的是哪一種。第二，這是機率論的深水區；解的存在與唯一需要條件（通常是 Lipschitz 係數），而大多數 SDE 沒有封閉形式的解，必須用模擬。
一個有雜訊的儲蓄帳戶：dX = r X dt + sigma X dB。漂移 r X dt 以速率 r 增長餘額（複利），而 sigma X dB 加入與餘額成比例的市場抖動。這個特定的 SDE 有封閉形式的解——幾何布朗運動——藉由把伊藤引理套用在 log(X) 上求得。
SDE = 可預測的漂移 a dt 加上隨機的擴散 b dB；它唯一嚴格的意義是積分後的（伊藤）形式。
在你固定積分慣例之前，SDE 是沒有意義的：伊藤與 Stratonovich 讀法給出不同的解。「dX = a dt + b dB」是一個積分方程的簡寫，而非字面上的導數。