伊藤引理（Ito's lemma）
/ EE-toh /
在普通微積分裡，鏈鎖法則告訴你當輸入改變時一個函數如何改變：若 y = f(x)，則 x 的微小變化產生變化 df = f'(x) dx。伊藤引理是布朗運動之函數的鏈鎖法則——而它帶著一個意外的額外項。如果你把一個平滑函數 f 套用在布朗路徑上得到 f(B(t))，f(B(t)) 如何逐刻改變？答案「不」只是 f'(B) dB。有一個額外的二階導數項，在普通微積分裡毫無對應，它出現只為一個原因：布朗運動的二次變差不消失。
它的來源在這裡。把 f(B + dB) 泰勒展開到二階：df = f'(B) dB + (1/2) f''(B) (dB)^2 + 更小的項。在普通微積分裡你會丟掉 (dB)^2 項，因為它相較於 dB 可忽略。但對布朗運動，(dB)^2 「不」可忽略——由二次變差它等於 dt，一個貨真價實的一階量。所以二階項存活下來，你得到伊藤引理：df(B) = f'(B) dB + (1/2) f''(B) dt。第一塊是熟悉的鏈鎖法則項（並且是鞅，即對 dB 的隨機積分）；第二塊 (1/2) f''(B) dt 是一個平滑、可預測的漂移，普通微積分從不曾看見。對一般由 dX = a dt + b dB 驅動的過程 X，法則寫成 df(X) = f'(X) dX + (1/2) f''(X) b^2 dt。
伊藤引理是整個隨機微積分中最常用的工具——它是你不斷伸手去拿的主力，就像你在普通微積分裡伸手去拿鏈鎖法則一樣。它讓你能解隨機微分方程、推導 Black-Scholes 方程、把一個過程變成另一個。要帶著的關鍵直覺：凸性創造漂移。因為那個 +(1/2) f'' 項，一個公平（均值零）隨機過程的凸函數即使在底層過程沒有趨勢的情況下也傾向「向上」漂移——這正是「波動率抽取」背後的機制，也是為什麼 E[f(B)] 不同於 f(E[B])（Jensen 不等式的動態版）。誠實的提醒：這是深水區，這裡只陳述常係數情形；一般定理需要完整的伊藤微積分才能仔細陳述與證明。
把 f(x) = x^2 套用在布朗運動上。這裡 f' = 2x、f'' = 2，所以伊藤引理給出 d(B^2) = 2B dB + (1/2)(2) dt = 2B dB + dt。積分還原出先前的意外：B(T)^2 = 2「integral of B dB」+ T，即「integral of B dB」= B(T)^2/2 - T/2。那多出來的 +dt 純粹是二次變差。
額外的 (1/2) f'' dt 項完全來自 (dB)^2 = dt；凸性創造了向上的漂移。
額外的二階項存在，僅因為 (dB)^2 = dt 不消失。丟掉它你就會得到錯誤答案——伊藤引理「不是」普通的鏈鎖法則。