分裂原理（splitting principle）
若每個叢都只是一些線叢之和，秩 n 叢的示性類就會很好處理，因為線叢是你完全理解其類的簡單原子。大多數叢並非這樣的和，但分裂原理是個巧妙的把戲，讓你可以假裝它們是。它說：對 X 上任何叢 E，存在一個輔助空間 F(E) 與映射 p: F(E) -> X，使得把 E 拉回到 F(E) 後確實分裂成線叢的直和，而且——關鍵地——上同調上的誘導映射 p^*: H^*(X) -> H^*(F(E)) 是單射。
具體上 F(E) 是 E 的旗叢：它在 x 上的點是纖維 E_x 的完整旗（子空間的巢狀鏈），而拉回 p^*E 取得一個過濾，其商為線叢 L_1, ..., L_n，故 p^*E 同構於 L_1 + ... + L_n。由於 p^* 是單射，任何你在上方（叢已分裂處）證得的示性類恆等式，都會下降為 X 上的真恆等式。因此工作方法是：當作 E = L_1 + ... + L_n，以形式根 x_i = c_1(L_i)（陳根）計算；把全陳類寫成乘積 (1 + x_1)...(1 + x_n)；讀出 c_k 為初等對稱多項式 e_k(x_1,...,x_n)；並相信任何 x_i 的對稱式都是 X 上的真類。
這是證明各種公式的日常引擎——惠特尼求和公式 c(E + E') = c(E)c(E')、陳特徵的乘法性、以及陳特徵本身定義為 exp(x_i) 之和。誠實的提醒：分裂原理並不宣稱 E 本身分裂——那通常是錯的——只說它在拉回到較大空間後分裂，且此拉回在上同調上忠實到足以把恆等式搬回。它是計算上的化約，而非 E 的結構分解。
為證 E + E' 的 c_1 與 c_2 的惠特尼求和公式，把各自分裂：寫 c(E) = (1+x_1)(1+x_2) 與 c(E') = (1+y_1)。則 c(E+E') = (1+x_1)(1+x_2)(1+y_1)，展開後全類即乘積 c(E)c(E')。逐次數讀出便還原 c_1(E+E') = c_1(E)+c_1(E') 與 c_2(E+E') = c_2(E)+c_1(E)c_1(E')+c_2(E)。
假裝叢是線叢之和，相乘，讀出對稱多項式——分裂原理保證答案正確。
分裂原理並不說 E 分裂；它通常不分裂。它只說 E 在拉回到旗叢後分裂，而那裡上同調上的拉回映射是單射，這已足以驗證恆等式。把「拉回後分裂」誤認為「分裂」是標準的錯誤。