球面定理
一個空間要多圓，才會被迫成為球面？若一個流形的曲率嚴格為正，且逐點逐平面之間變化從不超過四倍，答案是：夠圓了——它在拓樸上必為球面。球面定理是把純局部、數值的曲率夾擠條件轉化為整體拓樸辨識的里程碑結果，是全幾何學中最乾淨的「曲率決定形狀」陳述之一。
確切地說（經典拓樸版本）：設 M 是完備、單連通的黎曼流形，其截面曲率嚴格四分之一夾擠，意即在每一點、對每個切 2 平面皆有 1/4 < K <= 1（將最大值縮放為 1 之後）。則 M 同胚於球面 S^n。此夾擠是精確的：恰在 1/4 處結論可能失效，因為帶富比尼-施圖迪度量的複射影空間 CP^m 的曲率夾在 1/4 與 1 之間（含端點）卻不是球面。其證明（貝爾熱、克林根貝格，在勞赫的基礎上）把托波諾戈夫三角形比較與單射半徑下界結合，藉由黏合兩個指數像球建構出明確的同胚。困難得多的可微球面定理（布倫德爾-肖恩，2007，經由里奇流）在同樣的夾擠下把「同胚」加強為「微分同胚」，甚至允許逐點而非整體的夾擠。
球面定理是比較幾何的桂冠：它顯示一個定量的曲率界，除單連通外不需任何拓樸輸入，便能恢復整個整體形狀。要緊的誠實注意。其一，拓樸版本中 1/4 是嚴格的——CP^m 是臨界例子，顯示你不能納入 1/4 這個值還要迫使球面。其二，原定理只給出同胚，而到微分同胚的鴻溝極為要緊，因為奇異球面存在（同倫球面未必與標準球面微分同胚）；填補此鴻溝花了五十年與里奇流。其三，單連通假設不可或缺——像球面空間形式 S^n/Gamma 這樣的空間形式是夾擠的，卻不單連通、也不是球面。
任何緊、單連通、曲率嚴格落在 1/4 與 1 之間的流形——例如稍微壓扁但不太離心的標準球面——同胚於 S^n；布倫德爾-肖恩將此加強為微分同胚。其精確性顯現於帶富比尼-施圖迪度量的 CP^2：它的截面曲率恰好填滿閉區間 [1/4, 1]，故僅在非嚴格意義下四分之一夾擠，而 CP^2 確實不是球面（它有非平凡的 H^2 與不對的歐拉示性數）。正是這單一的臨界例子，使得不等式 K > 1/4 必須嚴格。
嚴格的 1/4 < K <= 1 迫使（同倫）球面；CP^m 恰落在 1/4 邊界上、不是球面。
同胚不等於微分同胚。經典定理只給出同胚——這很關鍵，因為奇異球面存在——而加強為微分同胚需要布倫德爾-肖恩的里奇流證明。切勿把可微版本說得彷彿初等。