簡單隨機漫步（simple random walk）
想像你站在一條數線上。擲一枚硬幣：正面，你向右走一步；反面，你向左走一步。再擲、再走，如此不斷。你描出的那條遊走位置就是簡單隨機漫步 —— 那個藉由累積獨立隨機步而建立起來的、最基本也最被研究的過程。它是孕育出大量過程理論的玩具模型。
正式地說，取獨立同分布的步 Z_1, Z_2, Z_3, ...，每一步等於 +1 或 -1（對稱情形各以機率 1/2）。從 S_0 = 0 出發，設 S_n = Z_1 + Z_2 + ... + Z_n，即 n 步之後的位置。這是一個離散時間、整數狀態、具獨立且平穩增量的過程。兩個小事實釘住了它的尺度：期望位置為 E[S_n] = 0（對稱情形下漫步無漂移，不偏向左或右），而散布以 Var(S_n) = n 增長，所以離原點的典型距離以 n 的平方根增長 —— 緩慢，但無上界。走了 100 步之後，你通常離出發點約 10 而非 100。
儘管它如此平凡，簡單隨機漫步卻富饒得驚人。它在一維與二維中是常返的（它以機率 1 無窮多次回到起點），在三維或更高維中卻是暫態的（它最終會遊走離去，可能永不歸來）—— 這就是著名的波利亞定理。它是布朗運動的離散祖先：把空間按 1/sqrt(n) 縮放、時間按 1/n 縮放，漫步就收斂到布朗運動（東斯克定理）。它是賭徒破產、反射原理與令人意外的反正弦定律的自然舞台。過程理論中幾乎每一個想法，都能在簡單隨機漫步裡廉價而具體地初次相遇。
一位賭徒在每次公正擲幣時下注 1 美元，每次贏或輸一美元。他的淨財富恰好是一個對稱簡單隨機漫步。在 4 次擲幣得到 正、反、正、正 之後，路徑為 1, 0, 1, 2 —— 淨值 +2。注意回到 0 需要偶數步，因為每一步都改變位置的奇偶性。
位置是 ±1 步的累積總和；均值維持 0，但散布以步數的平方根增長。
漫步漂移為零「並不」代表它停留在原點附近 —— 它的散布無上界地增長（如 sqrt(n)），所以它終將遊走到任意遠處。「無漂移」是指沒有系統性方向，而非「原地不動」。