扇形算子（sectorial operator）
像 -Laplacian 這樣的橢圓算子，究竟是什麼讓它的擴散如此猛烈地平滑？答案藏在它的譜與預解式在複平面中的幾何裡。扇形算子，就是其譜被困在一個朝某側張開的楔形（扇形）內、而其預解式在該楔形外處處保持良好有界——包括一塊繞到左側的區域——的算子。這幅圖景，正是該算子生成解析半群所需的條件，所以「扇形」就是拋物型問題的譜指紋。
精確地說：若存在張角 theta 屬於 (pi/2, pi) 與實數 omega，使得 A 的譜落在閉扇形 {lambda : |arg(lambda - omega)| <= theta} 內（一個環繞正實軸、但比半平面更寬的楔形），且在該扇形外預解式服從 norm of (lambda I - A)^{-1} <= M/|lambda - omega|，則閉的稠定算子 A 稱為扇形的。關鍵在於「比半平面更寬」（theta > pi/2）：預解式必須在一塊探到虛軸「左側」的區域中保持有界。正是那一小塊向左的突出，讓你能繞著譜畫一條圍道，並用積分把 e^{-tA} 定義為 (1/2 pi i) 乘以圍道積分 e^{-t lambda} (lambda I - A)^{-1} d lambda——而那向左的下探，正是使該積分收斂、並給出平滑化界 norm of A e^{-tA} <= C/t 的原因。
它為何重要：扇形性是整套拋物型半群理論賴以運行的工作假設。下方有界的自伴橢圓算子自動是扇形的（其譜為實數且上方有界），更一般地，任何係數合理的一致橢圓二階算子，在恰當的空間上都是扇形的。一旦你知道 A 是扇形的，你就免費獲得：一個解析半群、瞬時平滑化、分數冪 A^alpha 與介於其間的內插空間，以及用杜阿梅與不動點求解半線性拋物型方程的框架。
A = -Laplacian 於 L^2(Omega) 帶狄利克雷條件是自伴的，其譜為正的狄利克雷特徵值 {lambda_k}，全為實數且 >= lambda_1 > 0。故其譜落在正實軸的一條射線上，理所當然地落在一個張角略大於 pi/2 的扇形內，而預解式在離開該射線時以 1/|lambda| 衰減。因此 -Laplacian 是扇形的，並生成解析熱半群 e^{t Laplacian}。
譜落在向左突出的扇形內 = 解析（平滑化）半群的生成元。
張角必須超過 pi/2——半平面的預解式界（張角恰為 pi/2）只給出一個普通的 C_0 半群，而非解析半群；那向左多出的突出，正是換來解析性與平滑化的東西。所以「譜落在左半平面」對拋物型的那些收益而言是必要而非充分的；你需要那個扇形真的夠胖。