無窮小生成元（infinitesimal generator）
如果說 C_0 半群是演化的整部電影——那族能把你往前推任意時間的算子——那麼它的無窮小生成元就是這部電影在最初一瞬間的速度。它是 T(t) 在 t = 0 處的導數，是把瞬時運動律編碼進去的單一算子。知道生成元，就等於知道那條微分方程；知道半群，就等於知道它的解流。生成元是那個緊湊的東西，半群是它完整的展開。
精確地說：給定 X 上的 C_0 半群 {T(t)}，其生成元 A 由 A x = limit as t goes to 0+ of (T(t)x - x)/t 定義，定義域 D(A) 是使此極限存在的那些 x 所成的集合。那個商式根本就是時間上的差商，所以 A 就是「t = 0 處的 d/dt」。對抽象柯西問題，我們通常把方程寫成 du/dt = -A u，於是熱半群的生成元就是其定義域上的（負）拉普拉斯算子。生成元通常是無界的，而 D(A) 只是一個稠密子空間，並非整個 X——它正好就是那些「夠光滑」的向量。最根本的連結是：對 x 屬於 D(A)，曲線 u(t) = T(t)x 可微且滿足 du/dt = A u（或依上面的符號約定為 -A u）：半群解的，正是以它的生成元為右端的那條方程。
這是抽象半群與具體偏微分方程之間的橋樑。你幾乎從不徒手構造半群；相反地，你從一個算子 A（來自某偏微分方程的橢圓算子）出發，檢驗某個生成定理的假設，然後斷定 A 生成一個半群——這個半群就是你想要的解算子。生成元的譜與預解式（(A - lambda I) 在何處可逆）支配著下游的一切：經由希爾-吉田得到存在性、經由譜隙得到衰減率、經由扇形性得到平滑化。
對 L^2(R) 上的熱半群 T(t) = e^{t Laplacian}，取 x = f 為具緊緻支撐的光滑函數。則當 t 趨於 0+ 時 (T(t)f - f)/t 趨於 Laplacian f = f''，所以生成元為 A = Laplacian，其定義域是那些「二階弱導數仍在 L^2 中」的 f（即索伯列夫空間 H^2）。半群把算子 Laplacian 記成了它最初一瞬間的速度。
生成元是解流在 t = 0 處的時間導數——它就是那個微分算子本身。
生成元是閉算子且稠定的，但幾乎從不有界，因此它並非在整個 X 上有定義——把一個不光滑的向量餵給它毫無意義。常見的錯誤是對 D(A) 之外的 x 去操作 A x；定義域是算子的一部分，把它弄對（取哪些邊界條件、要多少光滑度）正是真正內容之所在。