取樣定理（sampling theorem）

一段連續的聲音——空氣中一道平滑、不間斷的波——竟能在 CD 上存成有限的一串數字，再播放出來而無可聽損失，這感覺像魔術。少少幾個點怎麼可能重新捕捉一條有無窮多點的曲線？取樣定理精確說明了這魔術何時被允許，它是所有數位音訊、視訊與通訊的理論基石。

這個由奈奎斯特與香農提出的定理說：若訊號不含某個上限 B 以上的頻率（它被頻帶限制在 B），則它由「任何嚴格大於 2B」的取樣率所取的樣本「完全且精確地」決定。不是近似——是精確。連續訊號可由離散樣本透過特定內插完美重建：把每個樣本換成一個以該樣本為中心的 sinc 函數（sin(pi*t)/(pi*t) 經縮放），再全部相加；這些 sinc 彼此咬合，使它們的擺動處處抵消，唯獨在各樣本所在處不抵消。門檻率 2B 就是奈奎斯特率，口號很簡單：「取樣要快於最高頻率的兩倍」。

兩個前提正是誠實所在之處。第一，頻帶限制是一種理想化：沒有真實訊號是完美頻帶限制的（有限長度的錄音不可能是），所以實務上你在取樣前施加抗混疊低通濾波器，「強迫」訊號落在 B 之下，接受捨棄真正太快的內容。第二，「恰好」以 2B 取樣並不夠——你需要嚴格高於、留有餘裕——而用理想 sinc 重建需要無窮多樣本，所以真實系統使用實用的近似濾波器。在這些前提之內，定理是精確且驚人的：適當頻帶限制的訊號在數位化時不損失任何東西。