座標軸旋轉（rotation of axes）
當圓錐曲線的方程式含有 xy 項時，曲線是傾斜的——它的對稱軸與座標軸成一斜角，方程式也不好讀。座標軸旋轉就是把座標系統轉到與傾斜的圓錐曲線對齊的技巧，轉過之後交叉項消失，方程式便彈回乾淨、可辨識的標準式。
方法如下。把舊座標 (x, y) 換成轉過角 theta 的新座標 (x', y')：x = x' cos theta - y' sin theta，y = x' sin theta + y' cos theta。角 theta 的選法是要消去交叉項，這發生在 cot(2 theta) = (A - C)/B（等價地 tan(2 theta) = B/(A - C)）時。把代換代入 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，整理各項，新的 B' 係數便因這個 theta 的精確選擇而為零。方程式在旋轉後的座標系中變為 A'x'^2 + C'y'^2 +（低次項）= 0，再照常配方完成。圓錐曲線本身從未移動——只是你的視角旋轉去迎合它。
座標軸旋轉完成了二次一般式的分析：判別式告訴你類型，旋轉（加平移）則把任何傾斜又平移的圓錐曲線化為可讀出焦點與軸的標準式。量 A + C 與 B^2 - 4AC 在旋轉下保持不變，這既是有用的檢驗，也是判別式分類可信的原因。
取 xy = 1，故 A = 0、B = 1、C = 0。此處 A = C，所以 2 theta = 90 度、theta = 45 度。代入 x = (x' - y')/sqrt(2)、y = (x' + y')/sqrt(2)，把 xy = 1 化為 (x'^2 - y'^2)/2 = 1，即 x'^2/2 - y'^2/2 = 1——分明是直角雙曲線，如今端正地坐在新軸上。
以 tan(2 theta) = B/(A - C) 把軸旋轉 theta，xy 項便消失。
座標軸旋轉移動的是你的座標系，而非曲線——圓錐曲線前後完全相同，只是用更簡單的數來描述。當 A = C 時，由於 tan(2 theta) 發散，交叉項方程式直接給出 theta = 45 度。