退化圓錐曲線（degenerate conic）

並非每一道圓錐切痕都給出優雅的曲線。若你的切割平面通過圓錐的頂點——兩半相接的那個尖端——「曲線」便塌陷成扁平、骨架般的東西：一個點、一條直線，或交叉的一對線。這些縮水的殘餘就是退化圓錐曲線，是這個家族的邊界情形。

幾何上有三種：以陡角通過頂點切割，得到兩條相交的線（壓扁到漸近線的雙曲線）；通過頂點且與圓錐相切，得到一條線（重合的線，塌陷的拋物線）；以淺角通過頂點，只有頂點本身同時落在其上，給出一個點（縮成中心的橢圓）。代數上，同一條方程式 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 在圓錐「可因式分解」或無真正內部時便產生這些。例如 x^2 - y^2 = 0 因式分解為 (x - y)(x + y) = 0，即一對線 y = x 與 y = -x；x^2 + y^2 = 0 只有單一實點 (0, 0)；x^2 = 0 是重合線 x = 0；而 x^2 + y^2 = -1 根本沒有實點（「空」或虛圓錐曲線）。

退化圓錐曲線之所以重要，因為它們是分類誠實的邊緣：判別式檢驗說出類型卻看不見退化，所以對二次一般式的徹底分析必須檢查圓錐曲線是否已塌陷。它們也自然地作為極限出現——把橢圓擠到兩焦點相撞並縮小，你便抵達一個點；把雙曲線的兩支併到它們的漸近線上，你便抵達交叉線情形。