黎曼不變量（Riemann invariant）
/ REE-mahn /
解一個耦合系統很難；解一條單一的傳輸方程卻很容易。黎曼不變量是一個巧妙的變數替換：對一個兩方程的雙曲系統，它把糾纏的一對量拆成兩個量，每一個都單純地沿著一族特徵線行進而保持不變。這正是把系統化為兩個幾乎獨立的純量問題的訣竅。
對速度為 lambda_1 < lambda_2 的 2 乘 2 嚴格雙曲系統而言，1-黎曼不變量是一個函數 w_1(U)，它沿著 1-特徵線（曲線 dx/dt = lambda_1）保持不變；而 2-黎曼不變量 w_2(U) 沿著 2-特徵線（dx/dt = lambda_2）保持不變。在新變數 (w_1, w_2) 下，系統大致寫成 (d/dt + lambda_2 d/dx) w_1 = 0 與 (d/dt + lambda_1 d/dx) w_2 = 0——每個不變量都由「另一」族的速度傳輸。對淺水方程而言，黎曼不變量是 u +/- 2 sqrt(g h)；對等熵氣體動力學而言則是 u +/- 2 a /(gamma - 1)。知道它們沿特徵線為常數，就能解黎曼問題並明確地構造稀薄波。
黎曼不變量對 2 乘 2 系統最為強大，那裡存在兩個不變量，本質上把動力學對角化。對更大的系統，真正的不變量未必存在（三個或更多方程的系統一般沒有一組完整的不變量），這也是 n=2 理論為何完整得多的原因之一。儘管如此，即使是部分不變量也能定下稀薄曲線與接觸間斷，而它們正是氣體動力學寫得最乾淨時的天然座標。
淺水方程：u_t + u u_x + g h_x = 0 連同 h_t + (h u)_x = 0，其黎曼不變量為 w_+ = u + 2 sqrt(g h) 與 w_- = u - 2 sqrt(g h)。沿前向特徵線 w_+ 為常數，沿後向特徵線 w_- 為常數。由這兩個常數，就能在一對特徵線到達的任一點還原出 u 與 h——這是一個古典的手算。
兩個黎曼不變量把淺水系統化為兩個被傳輸的純量。
黎曼不變量只在光滑解上沿特徵線保持不變；一旦形成震波，不變量會在震波處跳變（其跳量由朗肯-雨貢尼奧條件決定，而非由光滑時的不變關係決定）。它們是光滑流的工具，而非震波的工具。