更新函數與基本更新定理（renewal function and the elementary renewal theorem）

一旦你有了一個更新過程，最基本要問的量是：到時刻 t 為止平均發生了多少次更新？那個期望計數 m(t) = E[N(t)] 就是更新函數。它是更新過程對「對卜瓦松過程而言只是 lambda*t」這個問題的回答。對一般更新過程，m(t) 在短時間內通常「不」是一條直線——它會彎曲，因為間隔分配的形狀使早期更新或多或少可能——但它的長期斜率才是最重要的結果。

基本更新定理說：當 t 變大時，m(t) / t 趨向 1 / E[T]，即平均到達間隔時間的倒數。白話說，更新的長期平均速率是一除以平均間隔——正是直覺所要求的，但現在它是一個定理，對任何具有有限平均的到達間隔分配都成立。所以若零件平均維持 4 年，你以每年 1/4 的長期速率更換它們，而到第 t 年為止的期望更換次數，當 t 大時約為 t/4。（一個更精細的伴隨結果，即真正的更新定理，甚至釘出了常數修正項，但基本版本捕捉了本質的速率。）

這正是使更新理論可用於規劃的原因：編列備用零件預算、配置維護人力、或估計壽命成本，全都繫於長期速率 1/E[T]，而它「只」依賴平均間隔，而非其完整形狀。兩個誠實的提醒。第一，這個極限是漸近的——早期，在過程穩定之前，m(t)/t 可能與 1/E[T] 有明顯差異。第二，基本定理需要 E[T] 為有限；若間隔分配的尾巴重到其平均為無限，長期速率會崩塌為零，而通常的規劃直覺便失效。