g/h 留數捷徑（g/h residue shortcut）
你要積分的函數中有極大一部分是商 g(z) / h(z)，分子沒問題但分母有零點。當該零點是單的時，有一條特別俐落的公式，連 (z - z_0) f(z) 這個乘積都不必組出——你只要代入一個值的比。
規則：設 f = g / h，其中 g 與 h 在 z_0 解析、g(z_0) 不為零、且 h 在 z_0 有單零點（即 h(z_0) = 0 但 h'(z_0) 不為 0）。則 f 在 z_0 有單極點，且 Res(f, z_0) = g(z_0) / h'(z_0)。h' 從何而來？套用單極點的極限：Res(f, z_0) = (z - z_0) g(z) / h(z) 的極限。用切線改寫 z_0 附近的 h(z)，由於 h(z_0) = 0，故 h(z) 約等於 h'(z_0)(z - z_0)，於是 (z - z_0) / h(z) 趨於 1 / h'(z_0)，極限化為 g(z_0) / h'(z_0)。分母的導數悄悄替你做了抵消。
這個捷徑對三角與傅立葉積分是真正的省時利器，那裡的分母常是 z^n - 1 或 sin z 之類、導數很乾淨的東西。當你必須一次對許多單極點求留數和時，它與留數定理配合得極美——例如在所有 n 次單位根處，h(z) = z^n - 1 給出 h'(z) = n z^(n-1)，每個留數都是 g(z_k) / (n z_k^(n-1))。它只適用於 h 的單零點；h 的二重零點會把你打回 m 階公式。
對 f(z) = z / (z^4 - 1) 在單極點 z_0 = i（1 的四次方根）處，取 g(z) = z、h(z) = z^4 - 1，故 h'(z) = 4 z^3。則 Res(f, i) = g(i) / h'(i) = i / (4 i^3) = i / (-4 i) = -1 / 4。
商函數在單極點處的留數，就是 g(z_0) 除以 h'(z_0)。
這要求 h 的零點是單的、且 g(z_0) 不為零。若 g(z_0) 也為零，奇點可能是可去的或階更低，赤裸的公式 g(z_0)/h'(z_0) 可能誤導——先約去公因子。