分位數函數（quantile / inverse-cdf function）

cdf 回答一個正向問題：給定值 x，有多少比例的機率在它或它以下？分位數函數把它反過來跑：給定介於 0 與 1 之間的比例 p，哪個值 x 的下方恰有這個比例的機率？它是把分布切開、使比例 p 落在其左側的切點。0.5 分位數是中間（中位數）；0.9 分位數是 90% 的結果落在其下的那個值。

嚴格地說，分位數函數 Q(p) 是 cdf 的反函數：Q(p) = 使 F(x) >= p 成立的最小 x，當 cdf 嚴格遞增時就只是 Q(p) = F 的反函數作用在 p 上。要用它，選定你在意的機率再橫向讀取：要找某分布的 0.95 分位數，就找 cdf 第一次達到 0.95 的那個 x。那個 x 就是使 95% 的機率在它或它以下、5% 在它之上的值。百分位數是以百分比表示的分位數：第 95 百分位數就是 Q(0.95)。

分位數在實務中無所不在：考試的百分位排名、所得中位數、百年一遇的洪水水位、金融中的風險值，以及盒鬚圖的鬚。之所以需要那個謹慎的定義（使 F(x) >= p 的最小 x），是因為 cdf 可能平坦或跳躍，乾淨的反函數未必存在；取最小 x 的慣例無論如何都選出一個合理的值。再補一個寶貴的事實：把 [0, 1] 上的均勻亂數餵進分位數函數，會產生來自該分布的一個抽樣，這正是電腦模擬許多隨機變數的方法。