射影結構
想想畫家如何畫鐵軌：平行的軌道在消失點相交，直線保持為直線，但長度與角度不被保留。那就是射影幾何——只談直性的幾何，其對稱群是把線送到線的所有變換。射影結構把這幾何放到流形上：一種座標化方式，使其在局部上看似實射影空間，而各塊由射影變換黏合。它是平坦幾何結構中最靈活者，高踞於仿射與雙曲／歐氏結構之上。
精確地說，n 維流形 M 上的實射影結構是一個 (G,X)結構，模型空間 X = RP^n（實射影 n 維空間），群 G = PGL(n+1, R) 以射影線性映射作用。故 M 有一個映入 RP^n 的圖冊，其轉移映射是射影變換的限制；等價地它承載一個無撓的平坦射影聯絡。仿射結構（X = R^n，G 為仿射群）與常曲率幾何（歐氏、球面、雙曲）全都作為特例嵌入，因為那些群各自坐落於 PGL(n+1, R) 內——射影結構構成它們共同的大傘。凸射影結構是發展映射為映到 RP^n 某仿射圖卡中凸區域的同胚者。
射影結構之所以重要，在於其形變空間既大且可見。對閉雙曲曲面，雙曲結構是單一點，但它坐落於一個大得多的凸實射影結構形變空間——希欽分支——之中，維數 16g-16，由戈德曼發現，這是推廣 6g-6 維泰希米勒空間的高等泰希米勒理論。對三維流形，雙曲結構的射影形變（莫斯托剛性禁止其雙曲形變之處）是一項關鍵工具，例如在錐流形研究與德恩手術周圍的射影幾何中。
在射影直線 RP^1（一個圓）上，群 PGL(2, R) 以莫比烏斯型分式線性映射作用。一個閉雙曲曲面 S，其完整性經由伴隨／對稱平方嵌入落在 PGL(3, R) 內的 PSL(2,R) 中，可被形變：保持曲面拓樸，但把完整性滑出到 PGL(3, R) 中，在 S 上產生一個凸 RP^2 結構，其發展映射開展到 RP^2 中一個嚴格凸（但不再渾圓）的區域。所有這類結構之族即戈德曼的 16g-16 維空間。
把雙曲曲面形變為凸 RP^2 結構：發展像從圓盤開展為凸區域。
射影結構是「平坦」的，意思是沒有局部不變量（它是 (G,X)結構），但此處的「平坦」意指以齊性空間為模型，「並非」黎曼意義下的零曲率——RP^n 配其自然度量有正曲率。切勿把射影的平坦概念與度量的平坦混為一談。