發展映射
假設你帶著一個 (G,X)結構在流形上行走，每一步都用局部圖卡寫下你在模型空間 X 中的位置。只要你留在同一張圖卡內這毫不含糊，但要比較相距甚遠的位置，你必須沿路徑解析延拓圖卡，用 G 的轉移元素把每張新圖卡黏到前一張。發展映射就是這延拓的整體記錄：從一個基點出發，它沿萬有覆疊上的每條路徑追蹤，並賦予它在 X 中一個單一而一致的位置。
精確地說，設 M-tilde 為 M 的萬有覆疊，承載提升的 (G,X)結構。發展映射是一個映射 D: M-tilde -> X，它是局部微分同胚（事實上是與圖卡相容的浸入），且在後合成一個 G 的元素之下唯一。你用解析延拓建構它：在基點附近固定一張圖卡，對任何其他點沿一條從基點出發的路徑前進，並在每個重疊處用轉移元素修正下一張圖卡，使各片拼成入 X 的單一映射。由於 M-tilde 單連通，結果與所選路徑無關，故 D 在整個 M-tilde 上有定義——但它未必下降到 M，因為繞一個非平凡迴圈會把 D 改變一個固定的 G 元素。
這個無法下降正是完整性：對每個甲板變換 gamma 都有 D(gamma . x) = rho(gamma) . D(x)，其中 rho 為完整性表示。所以發展映射與完整性是同一對象的兩面。當 D 是映到 X 的覆疊映射時結構恰為完備（此時 M-tilde = X，而 M 是 X 對 G 的離散子群的商），而當 D 例如是映到真子集的開嵌入時則不完備——帶尖點曲面上的雙曲結構，若看錯方向，可能只發展到 H^2 的一部分。
取一個錐角為 2pi/3 的歐氏錐（一個平坦圓盤，切掉 120 度的楔形並把兩邊黏合）。在錐點之外它有平坦的 (G,X = R^2) 結構。沿一個環繞錐點的小迴圈發展：繞一圈時，發展映射只掃過 R^2 的 120 度扇形，邊就被認同，故 D 在每點附近是局部微分同胚，但整體上是無法閉合的「旋轉樓梯」。該迴圈的完整性是把扇形兩邊黏起的 120 度旋轉。
繞錐點的迴圈發展時掃出 R^2 的一塊楔形；完整性即閉合該楔形的旋轉。
發展映射是浸入（局部微分同胚），一般並非嵌入：它可以自我重疊，而對不完備結構它可能完全錯過 X 的一部分。此處的「可發展」意指「可由解析延拓展開」，對任何 (G,X)結構都自動成立——它不是額外假設。