指定零點定理
假設你寫下任意一張零點願望清單：平面上的一串點 a_1, a_2, ...，可以重複以表示重數，唯一的要求是它們不堆積——它們奔向無窮遠，|a_n| -> infinity。問題：是否存在一個整函數，其零點「恰好」是那些點、恰好具那些重數、且別無其他？指定零點定理回答：是，總是如此。這是魏爾斯特拉斯理論的存在性那一半，敘述成一種自由：只要零點沒有有限聚點，你便可隨心所欲地指定一個整函數的零點。
其建構正是魏爾斯特拉斯乘積。對每個 a_n 你取一個基本因子 E_(p_n)(z/a_n)，它在 a_n 處貢獻單一零點、別無其他，並把次數 p_n 取得增長得剛好夠快，使乘積在緊緻集上一致收斂。（取 p_n = n 永遠有效，無論 a_n 如何表現。）若你還想在原點有 m 階零點，就加上一個因子 z^m。所得乘積是整函數，且恰好在你的清單上消失。唯一的結構限制——零點不能在有限點堆積——並非魏爾斯特拉斯強加，而是恆等定理所迫：零點在某有限處堆積的整函數必恆為零。
這是全純函數何等靈活的驚人陳述。在數線上，你一般無法找到一個零點集任意的實解析函數；在複平面上，只要該集是離散的，你總能找到。它也解放了後續的建構：一旦你能造出零點任意、極點任意（極點用米塔-列夫勒）的函數，你便能透過取商造出零點與極點皆任意的亞純函數——函數論的全部設計自由都建立在此定理之上。
要求一個整函數恰好在平方數 1, 4, 9, 16, ...（各為單零點）處消失。由於這些數奔向無窮遠，定理保證存在這樣的函數；一個明確的建構是對 n >= 1 取 E_(p_n)(z/n^2) 的乘積，例如取 p_n = 1（次數 1 已給出 sum 1/n^4 < infinity，足夠收斂）。結果是一個唯一零點為完全平方數的整函數。
任何奔向無窮遠的離散序列都能成為某整函數的精確零點集——此處是完全平方數。
條件 |a_n| -> infinity（無有限聚點）並非可選。依恆等定理，非零整函數的零點只能在無窮遠處堆積；若你的願望清單在有限點堆積，唯一在其上消失的函數將是零函數。