米塔-列夫勒定理
/ MIT-tahg LEFF-ler /
魏爾斯特拉斯告訴你，你可以指定一個整函數的零點。米塔-列夫勒是極點的對偶自由：你可以指定一個亞純函數的極點。更甚者——你不只可以指定極點落在哪裡，還可以指定每個極點究竟如何爆掉，即它完整的主要部分。本定理是亞純函數設計問題的存在性那一半：平面上總存在一個亞純函數，恰具你所要求的極點與恰好那樣的奇異行為。
敘述如下。任選一串相異點 b_1, b_2, ...，其中 |b_n| -> infinity，並對每一個附上一個主要部分 P_n(z)——一段有限的負冪尾項，如 c_(-1)/(z - b_n) + c_(-2)/(z - b_n)^2 + ... 。則存在一個亞純函數 f，其唯一極點為 b_n，在 b_n 處的主要部分恰為 P_n。最天真的猜測，即把主要部分直接相加成 sum P_n(z)，通常發散；米塔-列夫勒的修正是從每個 P_n 減去一個修正多項式 p_n(z)（它在原點泰勒展開的一個部分和），使修正後的級數 sum (P_n(z) - p_n(z)) 在緊緻集上一致收斂。再加回一個自由選取的整函數，便得到一般的這種 f。
這是部分分式原理推廣到無窮的情形，且與魏爾斯特拉斯完全平行：魏爾斯特拉斯用提供收斂的指數因子強制一個「乘積」收斂，米塔-列夫勒則用提供收斂的多項式減項強制一個「和」收斂。兩者合起來給你全部的設計自由：用魏爾斯特拉斯乘積指定零點，用米塔-列夫勒和指定極點與主要部分，再組合。著名的模型展開——pi cot(pi z)、pi^2 / sin^2(pi z) 等——正是指定的主要部分在每個整數處為 1/(z - n)（或其平方）的具體實例。
在每個整數 n 處指定一個主要部分為 1/(z - n) 的單極點。把 1/(z - n) 對所有 n 直接相加會發散。米塔-列夫勒從每一項（n != 0）減去修正 1/(-n) = -1/n，於是對稱化的級數 1/z + sum over n != 0 of [1/(z - n) + 1/n] 收斂。它等於 pi cot(pi z)——一個恰具指定單極點的亞純函數。
在整數處指定主要部分 1/(z - n)，靠米塔-列夫勒的減項使之收斂——結果是 pi cot(pi z)。
與魏爾斯特拉斯一樣，這是存在性定理、而非唯一性定理：你總能對 f 加上任何整函數而不改變任何一個極點或主要部分，故極點與主要部分本身永遠無法決定 f。