物理資訊神經網路（physics-informed neural network）
一個普通的神經網路只從資料學習：給它看許多例子，它就擬合出規律，但它對物理一無所知，會樂於違反守恆律來迎合雜訊。物理資訊神經網路（PINN）藉由直接把自然的規則告訴網路來修正這點。它學習一個微分方程的解，做法是：每當它違背那個方程時就被懲罰。
用平易的步驟說明其機制。你想要一個函數 u(x, t) 解某個微分方程，譬如熱方程或波方程。你用一個帶有可調權重的神經網路來表示 u。由於自動微分能算出網路輸出對其輸入的精確導數，你可以把網路直接代入微分方程，並在區域內散布的取樣點上量測殘差——它離滿足方程有多遠。訓練損失於是是兩部分之和：在內部點上方程殘差被違反得有多糟，加上已知的邊界與初始條件被偏離得有多糟。用梯度下降把這個合併損失最小化，會把權重推到網路既擬合你手上的資料、又處處尊重物理為止。不需要網格，這在高維或建格令人頭痛的彆扭幾何中很吸引人。
PINN 對反問題（從稀疏量測推斷一個未知係數）、高維 PDE，以及把零散感測器資料與支配方程融合等問題很有吸引力。但誠實是必要的：相對於古典求解器，它們並非免費午餐。對標準的適定 PDE，有限元素法或有限差分法通常更快、更準，且帶有 PINN 所欠缺的收斂保證。PINN 訓練可能緩慢又難搞，損失地形崎嶇，而且結果一般沒有誤差界。它們是處理古典方法不擅長之問題的有前景工具，而非全盤的替代品。
假設你有金屬板內幾個溫度讀數，而你想要完整的溫度場外加板子未知的熱傳導率。PINN 把溫度表示成一個網路，加上穩態熱方程作為一個損失項，訓練到網路既符合讀數「又」滿足方程——一次同時還原出溫度場與缺失的傳導率，這是純資料擬合做不到的。
PINN 藉由強迫網路服從支配方程，還原出一個隱藏的係數。
對標準 PDE，PINN 一般並不比古典求解器更快或更準——有限元素法通常勝出，且帶有 PINN 所欠缺的收斂保證。它們的利基在反問題、高維與資料-物理融合，而非全盤取代有限元素法。