辛形式
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辛形式是相空間隱藏的幾何——正是這個結構，使相空間不只是一組 2n 維座標。普通空間有度規，用來量長度與角度。相空間則改為擁有辛形式，用來量有向面積。哈密頓力學所尊重的，正是這個量面積的結構，而非任何距離觀念；也正因如此，位置與動量才會以它們特有的方式配對。
在具正則座標 (q_i, p_i) 的相空間上，辛形式是反對稱物件 omega = sum_i dq_i ^ dp_i（一個微分 2-形式；楔積 ^ 表示有向、反對稱的乘積）。它為任意二維小片指定一個帶號面積，並在各共軛平面上求和。它的定義性特徵是：反對稱、非退化（沒有任何非零方向與一切事物的面積配對皆為零）、且閉（d omega = 0）。哈密頓量透過它生成動力學：運動方程即「流的向量場與 omega 縮併等於 dH」這句話。正則變換恰是保持 omega 的映射，而帕松括號就是 omega 作用在兩函數梯度上的值。
辛形式是整個學科不依賴座標的核心。劉維爾定理即「omega^n（它的 n 重楔積，也就是相空間體積）不變」這句話；龐加萊更強的不變量說 omega 的每一次冪都各自守恆。這套幾何也規範了數值計算：辛積分器被設計成精確保持 omega，這正是為什麼在天文級長時間的模擬中，當一般方法能量漂移時，它們仍能忠實追蹤能量。把力學看成辛幾何，就是現代、不依賴座標的觀點。
在單自由度中，omega = dq ^ dp 就是相平面上普通的有向面積元。「變換 (q, p) -> (Q, P) 為正則」這句話於是化為「它保持面積」：dQ ^ dP = dq ^ dp。這正是為什麼二維相空間中的正則映射恰是保面積映射。
在二維相空間中，辛形式就是有向面積，而正則變換恰是保面積映射。
辛形式不是度規。它是反對稱的，故對每個向量 omega(v, v) = 0——相空間方向沒有「長度」的觀念，只有成對向量所張的面積。混淆兩者會導致像「問一個位置與一個動量之間的『距離』」這樣的荒謬。