平均值的標準誤差（standard error of the mean）

單一次測量散布得很厲害，但許多次測量的平均卻穩定得多，就像一群人猜測的平均往往勝過任何一個人。平均值的標準誤差正好量化「穩定多少」：它告訴你，樣本的平均把真正的底層平均釘得多緊，而這與個別讀數散布得多開，是兩回事。

若個別測量的標準差為 sigma（原始資料的散布），則 N 次獨立測量的平均值帶有 sigma / sqrt(N) 的不確定度。實務上你並不確知 sigma，而是用樣本標準差 s 來估計，得 SEM = s / sqrt(N)。關鍵內容是那個 1 / sqrt(N) 的縮放：要把平均值的不確定度減半，你需要四倍的測量；要改善十倍，則需要一百倍的資料。精度的代價是昂貴的。

這是把重複讀數的散布轉換成你在其平均上所報之誤差棒的日常主力，而同一個 1 / sqrt(N) 定律也支配著蒙地卡羅估計的收斂。關鍵的警告是：別把標準誤差和標準差搞混。標準差 sigma 描述個別資料點的散布，不會隨你取更多資料而縮小；標準誤差 sigma / sqrt(N) 描述平均值的不確定度，才會縮小。把其中一個當成另一個來報是經典的錯誤，而且這個公式假設各次測量彼此獨立。