快度（rapidity）

相對論中的速度很彆扭：它們拒絕單純相加（兩個 0.8c 的推進並不給出 1.6c），而且在 c 處撞上一堵牆。快度是速度的重新打包，同時解決這兩個問題——一個度量「推進了多少」的量，它能直截了當地相加，並在速率趨近 c 時一路跑向無窮。

一個推進的快度 phi 由 tanh(phi) = beta = v/c 定義，等價於 gamma = cosh(phi) 與 gamma beta = sinh(phi)。在這個變數下，沿 x 的勞侖茲推進字面上就是一次雙曲旋轉：ct' = ct cosh(phi) - x sinh(phi)、x' = x cosh(phi) - ct sinh(phi)——與一般旋轉形式相同，只是把 cos 換成 cosh、sin 換成 sinh。關鍵報酬：共線的推進其快度相加，phi_total = phi_1 + phi_2，而這重現了相對論速度加成公式 tanh(phi_1 + phi_2) = (tanh phi_1 + tanh phi_2)/(1 + tanh phi_1 tanh phi_2)。

快度使幾何一目了然：推進是 (ct, x) 平面上一次轉過雙曲角 phi 的旋轉，這就是為什麼勞侖茲群的推進部分看起來像帶雙曲函數的 SO(1,1)。當 v -> c 時，phi -> 無窮，所以光速屏障就是「沒有任何有限的快度之和能達到無窮」這件事。在粒子物理中，（縱向）快度之差在沿束流方向的推進下不變，這正是為什麼偵測器按快度（或其無質量近似——贗快度 pseudorapidity）來分箱粒子。要注意：快度只對沿單一直線的推進相加；對非共線的推進，你又會撿到一個維格納旋轉。