邏輯斯蒂映射（logistic map）

想像一群一年繁殖一次的昆蟲：親代愈多、後代愈多，但擠得太多就會耗盡食物，於是下一代崩跌。同時捕捉「成長」與「自我限制的擁擠」這兩者、逐年迭代的最簡方程，就是邏輯斯蒂映射——僅僅一行算術，卻蘊含通往混沌的完整故事。

邏輯斯蒂映射是一維離散時間映射 x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)，其中 x_n 是介於 0 與 1 的正規化族群數，r（介於 0 與 4）是成長率。因子 r x_n 是無節制的成長；因子 (1 - x_n) 是煞車，當族群填滿其生態棲位時就扼殺成長。儘管它幾乎是最簡單的非線性方程，隨 r 增大，其長期行為卻走過整個「動物園」：r < 3 時單一穩定不動點，3 < r < 3.5699... 時倍週期串接（2、4、8……），其後則為混沌，且處處鑲嵌著週期窗口（著名的週期-3 窗口在 r = 3.828 附近開啟）。

羅伯特·梅（Robert May）1976 年對此映射的研究是一座里程碑：它顯示複雜、不可預測、混沌的行為，並不需要複雜的方程或眾多變數，因為一個二次遞迴就足夠。此映射是研究倍週期、費根鮑姆常數、敏感依賴，以及決定性混沌之定義本身的標準實驗場。誠實的告誡：它是真實族群動態的漫畫式簡化，而非忠實的生態模型；其價值在觀念層面，作為能親手觀察並計算混沌普適特徵的最簡具體系統。