週期倍增串級（period-doubling cascade）
想像一個系統打出穩定的節奏，每隔一拍就重複一次。轉一下旋鈕，它現在要兩拍才重複——節奏的長度加倍了，像一首每隔一小節才繞回來的曲子。再轉多一點，週期再次加倍到四拍，然後八拍，然後十六拍，倍增以越來越快的速度接連到來，直到重複長度變成無窮、節奏溶解成永不重複的混沌。這道接連倍增週期的階梯，就是週期倍增串級，是秩序讓位給混沌的主要途徑之一。
具體地說，在像邏輯斯諦映射 x_(n+1) = r x_n (1 - x_n) 這樣的系統中，長期環的週期在一列參數值 r_1 < r_2 < r_3 < … 處加倍。一個穩定不動點（週期 1）在 r_1 處失去穩定，被一個穩定的 2 週期環取代；那個在 r_2 處失去穩定，變成 4 週期；接著在 r_3 處變成 8 週期，依此類推。值得注意的結構在於間距：相鄰倍增之間的間隙以幾何方式縮小，每個間隙大約是前一個的 4.669 分之一。那個常數就是費根鮑姆數 delta。因為間隙以固定比率縮小，無窮多次倍增被擠進一個有限的參數窗口，累積到一個極限 r_infinity，越過它混沌就開始了。
這個串級是最清楚、最普適的通往混沌之路，而它的妙處在費根鮑姆對普適性的發現：比率 4.669… 不只對邏輯斯諦映射成立，而是對任何具有單一二次駝峰的平滑映射都成立，並且已在真實的流體對流與電子實驗中被測量到。所以這個串級不是某一條方程的怪癖——它是一種共享的機制，帶著橫跨物理、化學與生物的定量定律。看到週期倍增一次是個警訊；看到它一次又一次地加倍，就是在看一個系統以可預測的節奏，朝著不可預測性行進。
在邏輯斯諦映射中，週期 1 在 r 低於 3 時維持；第一次倍增到週期 2 發生在 r = 3；週期 4 約從 3.449 開始；週期 8 約 3.544；週期 16 約 3.564。這些窗口每次大約以 4.669 縮小，並堆積在 r_infinity = 3.5699… 處，混沌在此開始。
接連的倍增以普適因子 4.669 越來越快地到來，累積在混沌的起點。
週期倍增是通往混沌的一條途徑，而非唯一的一條——其他途徑（間歇性、準週期崩解、危機）也會發生。而且即使越過累積點，混沌仍被一道道恢復週期性的狹窄「窗口」打斷（著名的週期 3 窗口），所以「越過 r_infinity 就是純粹的混沌」是一種過度簡化。