佩雷爾曼熵泛函（Perelman's entropy functionals）

要控制一個類熱的流，你通常想要一個總是朝單一方向移動的量——一個熱力學式的熵，它只能增加（或一個能量，只能減少），這樣系統便不能永遠振盪、也藏不住壞行為。里奇流二十年來缺少這樣的量，這正是它如此難控制的原因。Perelman 在 2002 年的突破，是發現了正確的單調量——他的 F-能量與 W-熵——並把里奇流認作它們的梯度流。這些泛函是他證明的分析核心；一切排除壞奇異性的論證都源自它們的單調性。

主要有兩個泛函。F-能量是 F(g, f) = 在 M 上的 integral ( S + |grad f|^2 ) e^{-f} dV，其中 S 是純量曲率、f 是輔助函數；在里奇流與 f 的逆向熱方程耦合下，F 不減，且里奇流在差一個微分同胚的意義下是它的梯度流。更強的 W-熵是 W(g, f, tau) = 在 M 上的 integral [ tau( S + |grad f|^2 ) + f - n ] (4 pi tau)^{-n/2} e^{-f} dV，一個帶有正「時間」參數 tau 的尺度不變泛函。Perelman 證明了沿流 dW/dt >= 0，且等號僅在梯度收縮孤立子上成立。最重要的單一推論是無局部坍縮定理：W 的單調性禁止幾何坍縮——給定曲率尺度的球之體積保持下有界——這排除了最糟的假想奇異性（雪茄式坍縮），也正是使爆破分析與手術得以運作所欠缺的東西。一個配套構造，約化體積，同樣單調，給出同一無坍縮結論的更幾何化證明。

為何這是關鍵：在 Perelman 之前，人們無法排除那些在曲率不以受控速率爆炸的情況下坍縮的奇異性模型，而不排除它們，典範鄰域描述便失效、手術也無法被證成。這些熵提供了所欠缺的剛性。兩個誠實的提醒。其一，這裡的「熵」是與統計力學的類比，並非字面的熱力學熵；單調性是關於某特定泛函的定理，而非物理定律。其二，等號情形才是全部——W 恰在梯度收縮里奇孤立子上為常數，而正是等號情形的剛性（不僅是單調性）分類了爆破極限。把這些泛函僅當作記帳，會錯過其梯度流與孤立子結構才是完成幾何工作的東西。