薛丁格方程（Schrodinger equation）
/ SHROH-ding-er /
在原子的尺度上，粒子不是位於確定位置的小球——它是一團瀰散開來的「可能性之波」。薛丁格方程正是支配這團波如何隨時間演化的定律。它之於量子力學，猶如牛頓定律之於日常力學：給它力（一個位勢）與一個初始狀態，它便告訴你之後每一刻的狀態。雷射、電晶體、磁振造影，乃至化學本身，全都奠基於它。
（含時）方程為 i hbar psi_t = -(hbar^2 / 2m) Laplacian psi + V(x) psi，其中 psi(x, t) 是複數值的波函數，hbar 是約化普朗克常數，m 是粒子質量，V 是位能。量 |psi|^2 是找到粒子的機率密度。注意前面那個 i（負一的平方根）：儘管表面上像（一個時間導數、空間中一個 Laplacian），它並不是熱方程。那個 i 使它成為色散方程——它保持總機率守恆（|psi|^2 的積分），並且不平滑、不耗散；反之它使波包擴散並產生干涉。標準解法是分離變數：設 psi(x,t) = phi(x) e^(-i E t / hbar)；代入得到不含時方程 -(hbar^2/2m) Laplacian phi + V phi = E phi，這是一個特徵值問題，其允許的能量 E 即量子化的能階。
對適當的 V 求解這個特徵值問題，幾乎就是入門量子力學的全部：諧振子位勢給出等間距的能階與厄米特函數模態；氫原子（庫侖 1/r 位勢）以球座標分離變數求解，得到球諧函數與拉蓋爾函數——也就是化學裡的軌域。薛丁格方程正是這樣一個頭號理由：那套解熱方程與波動方程的偏微分方程工具——分離變數、特徵函數、特殊函數——同樣解釋了週期表。
盒中粒子（在 0 < x < L 上 V = 0，牆壁無限高）：分離變數給出駐波模態 phi_n(x) = sin(n pi x / L)，能量 E_n 正比於 n^2。這些正是振動弦的傅立葉正弦模態——同一個空間特徵值問題——但在這裡，能階的間距正是原子為何發出離散顏色之光的原因。
色散而非擴散：那個 i 使機率守恆並產生干涉。
儘管外觀像熱方程 u_t = k Laplacian u，薛丁格方程並不平滑也不衰減——那個 i 改變了一切，使它時間可逆且機率守恆。把它當成「虛時間擴散」是有用的技巧，但那是另一個物理世界。