平行六面體的體積（volume of a parallelepiped）

拿一個紙箱往側面一推，讓它的直角傾倒；它就成了一個傾斜的盒，也就是平行六面體，有六個平行四邊形的面。它仍圍住多少空間？令人意外地，傾斜對體積的法則毫無影響，而從一個角冒出的三條稜向量，能藉單一個數字立刻告訴你答案。

設從一個頂點出發的三條稜為向量 u、v、w。體積為 V = |u . (v x w)|，即純量三重積的絕對值。推理很乾淨：v x w 是垂直於底面平行四邊形的向量，其大小 |v x w| 等於該底面的面積。與 u 作內積，挑出 u 垂直於底面的分量——正是高。由於體積 = 底面積乘以高，而內積把高與面積摺在一起，故 |u . (v x w)| 就是體積。絕對值之所以要緊，是因為三重積可能算出負值（左手角），而體積必須非負。等價地，體積是以 u、v、w 的分量為列的 3 乘 3 行列式的絕對值。

這條公式扛起重活：它給出任何平行六面體的體積，而它的六分之一給出以同樣三條稜構成的四面體體積。當三重積為零時，盒是扁的——三條稜共面、不圍任何體積——這同時也是共面判別。關於盒形本身有個微妙處：把它推倒（剪切）會改變形狀與各面面積，卻出乎意料地「不」改變體積，只要底面與高不變。這正是卡瓦列利原理以向量形式現身，也是為何簡單的底乘高法則能在傾斜下倖存。