零點或極點的階（order of a zero or pole）
當一個函數在某點為零或爆掉時，你會想知道「有多強」。z 在 0 處「一次」為零，但 z^3「強三倍地」為零——它變得更平。同樣地，1/z 有「單純」的爆掉，而 1/z^4 爆得快得多。階就是恰好衡量這種為零或爆掉之強度的那個整數，並帶有乾淨的符號約定：零點為正、極點為負。
精確地說，設 f 在黎曼曲面上某點 p 附近亞純、不恆為零，取局部座標 z 使 z(p) = 0。寫出羅朗展開 f = sum of a_n z^n。階 ord_p(f) 是使 a_n 非零的最小 n。於是 f = z^k g(z)（g 全純、g(0) 非零）給出 ord = k > 0（k 階零點）；f = g(z)/z^k 給出 ord = -k < 0（k 階極點）；ord = 0 表示 f 在 p 處有限且非零。這個整數「不」依賴局部座標的選取，因為導數非零的全純座標變換 w = w(z)（w'(0) 非零）會保持領頭次冪。實際計算的方法：在保持其餘部分於 p 處有限且非零的前提下，提出 z 的最高次冪。
為何重要：階是後續一切的記帳。緊黎曼曲面上任何亞純函數 f 的所有 ord_p(f) 對 p 求和為「零」——計入階後，零點總數等於極點總數。（在球面上，這就是有理函數的零點數等於極點數的陳述。）把 f 的諸階打包成形式和便得到它的除子。一個常見的失誤：階由羅朗級數的「領頭項」決定，而非項數；z + z^2 在 0 處階為 1（z 項主導），而非階 2。
取球面上的 f(z) = (z^2 - 1)/z^3。在 z = 1 與 z = -1 處有單純零點（各為 +1 階）；在 z = 0 處有 3 階極點（-3 階）；在 z = infinity 處，於座標 w = 1/z 下 f 化為含 w^3 因子的式子，算出是 1 階零點。諸階之和為 1 + 1 - 3 + 1 = 0，正如緊性定理所要求。
在緊曲面上，任何亞純函數的諸階之和為零——此處為 1 + 1 - 3 + 1。
階之所以與座標無關，正因我們用的是「全純」座標變換（其導數不為零）。它由次數最低的非零羅朗項決定，而非項數；在緊曲面上別忘了檢查無窮遠點。