基礎：什麼是微分方程
偏微分方程
/ PDE (pee-dee-ee) /
現在想像你追蹤的東西同時依賴「不只一個」會變動的量。一根金屬棒內部的溫度，既依賴你沿棒所在的位置，也依賴當下的時刻。池塘上漣漪的高度，依賴水面上的位置，也依賴時間。要描述這樣的量如何變化，你必須分別談論它在每個方向上的變化率——這正是偏導數所做的事。
精確地說，偏微分方程把一個含「多個」自變量的未知函數，與它的偏導數連結起來——偏導數是在固定其他變量、只對某一個變量求導，常以彎曲符號書寫，例如 du/dt 與 d^2u/dx^2（偏）。熱方程 du/dt = c d^2u/dx^2（偏）是經典例子：它把溫度 u(x, t) 隨時間的變化，與它在空間中的彎曲程度連結起來。由於多個變化方向彼此交互作用，偏微分方程一般遠比常微分方程困難。
我們在此提及偏微分方程，只是為了劃出本學科的邊界：這門課談的是「常」微分方程，只有單一自變量。偏微分方程自成一個龐大的領域，但兩者深刻相連——一種稱為分離變數的標準技巧，能把某些偏微分方程「化成」一組常微分方程，這正是先精通常微分方程如此有價值的原因之一。
波動方程 d^2u/dt^2 = c^2 d^2u/dx^2（皆為偏導數）是一個偏微分方程：未知量 u(x, t) 依賴位置 x 與時間 t 兩個變量，且兩者的偏導數都出現。任何單變量的常微分方程都無法刻畫它。
兩個或更多自變量、偏導數——超出本課程範圍，但值得認得。
分界線在於自變量的「數目」，而非方程看起來多複雜。一個自變量就是常微分；兩個或以上就是偏微分。
又稱
另見