一階方程：恰當方程與代換
克萊羅方程（Clairaut's equation）
/ klay-ROH /
克萊羅方程是一個小而奇特的一階方程，它做了前面那些方程都不做的事：它有一族工整的直線解，「而且」還多出一個不屬於那一族的彎曲解。它是一階故事中誠實的那一處，「通解囊括一切」這幅整潔的圖像在此悄悄崩解。
其形式是 y = x y' + f(y')，其中未知函數的導數 y' 既線性出現（乘上 x），又出現在某個函數 f 之內。解它的技巧是把整個方程對 x 微分。相消後，你剩下 y'' 乘以 (x + f'(y')) = 0，一個乘積等於零，所以兩個因子之一必為零。若 y'' = 0，則 y' 為常數，記作 m，代回得通解 y = m x + f(m)——一族直線，每個斜率 m 一條。若反之 x + f'(y') = 0，你得到一條完全不屬於直線族的另一條曲線。
那第二個分支是奇異解，在幾何上它是直線族的包絡——每條直線都與之相切的那條曲線，宛如一把移動的尺所描出的光滑邊界。因此克萊羅方程是標準教科書中通往以下事實的窗口：通解不必完整——某些解可以完全活在那個參數化的族之外。
取 y = x y' + (y')^2，故 f(p) = p^2。直線解為 y = m x + m^2，對每個常數 m。奇異分支來自 x + f'(y') = x + 2 y' = 0，即 y' = -x/2；代回得拋物線 y = -x^2/4，它與那些直線中的每一條相切。
一整族切線，外加它們全都觸及的拋物線——它們的包絡。
直線族是通解，卻完全漏掉了奇異解。所以這裡的「通解」並不等於「所有解」——這個警告的意義遠遠超出克萊羅方程本身。
又稱
另見