牛頓位勢（Newtonian potential）

把你所有的質量（或電荷）集中到單一點，問它產生什麼重力（或電）位勢。答案——三維中牛頓萬有引力定律的 1/r 位勢——就是每個位勢生長的種子。它是空無空間對單一點源的反應，而藉由把這些反應依源的實際密度加權相加，你就能建造任何分布的位勢。這個基本構件就是牛頓位勢，也稱為拉普拉斯算子的基本解。

精確地說，基本解是那個在原點以外調和、其拉普拉斯算子為原點處單位點源（狄拉克 δ）的函數。在三維中它正比於 1/r（牛頓位勢，依標準正負號為 -1/(4 pi r)）；在二維中正比於 log r（對數位勢）；一般而言是到源點距離的某次冪或對數。把此核與源密度 f 卷積，給出帕松方程 Laplacian u = f 的一個特解：分布的位勢就是各點源位勢的疊加，每個源貢獻它的 1/r 尾巴，遍及整個物體相加。這就是自由空間中帕松方程的積分解。

牛頓位勢是位勢論的基石，也是偏微分方程中每個格林函數與基本解的原型。它解釋了為何遠離任何有限物體時，其場看起來像中心一個點質量的場（領頭的 1/r 項），而對它的細緻分析——位勢的平滑度如何取決於密度的平滑度——是橢圓型正則性背後的模型計算。關鍵的誠實：它在源處奇異。位勢在點質量處發散，而 δ 源不是函數而是分布，故方程 Laplacian u = delta 應理解為分布意義下、而非逐點。