拉普拉斯方程、帕松方程與位勢論
諾伊曼相容條件（Neumann compatibility condition）
若你把一個房間密封，使熱只能透過一面牆進出，而你泵入熱的速度持續快於它流出，房間就永遠不會安定到穩態溫度——它只會持續變暖。只有當進來的熱恰好平衡出去的熱時，穩態才可能。諾伊曼相容條件正是這種平衡的精確陳述，也是諾伊曼問題能有解之前必須成立的要求。
精確地說，對區域 D 上的帕松方程 Laplacian u = f、邊界通量指定為 du/dn = g，把方程在 D 上積分並用散度定理。Laplacian u 在 D 上的積分等於 du/dn 在邊界上的積分，故資料必須滿足：g 在邊界上的積分等於 f 在 D 上的積分。對拉普拉斯方程（f = 0）這化為 g 在邊界上的積分為零——淨向外通量必須消失。若資料違反此式，則無解存在；若滿足，則解存在且唯一到差一個可加常數。
這是教科書級的可解性條件範例，對應的算子有非平凡的零空間——這裡是常數，拉普拉斯算子把它消滅、其法向導數為零。弗雷德霍姆二擇一恰好整理了這件事：問題要嘛唯一可解，要嘛恰當資料與零空間正交時可解，且解相差該零空間而非唯一。諾伊曼問題屬於後者。誠實的做法是在求解前永遠先檢查相容性——一個被餵入不相容資料的數值諾伊曼求解器，不是無法收斂，就是無聲地回傳垃圾。
加熱一個金屬環的邊界，在左半泵入 5 瓦，而在右半只試圖抽出 3 瓦，且無內部源。g 的積分不為零（淨入 2 瓦），故穩態諾伊曼問題無解——物理上，這個環就只會永遠持續升溫。
帳必須平：總向內通量必須等於總內部源，否則沒有平衡。
此條件是必要「且」充分的（對良好區域）：滿足它則解存在，但只到差一個可加常數。必須平衡的是資料的積分——逐點而言通量可以任意，這裡正、那裡負皆可，只要總量相符即可。
又稱
另見