多型分支與 Perron-Frobenius 平均矩陣（multitype branching and the Perron-Frobenius mean matrix）
/ peh-ROHN FROH-beh-nee-oos /
真實族群並非由可互換的個體組成：有雄有雌、有感染有康復、有幼有成、有不同能量的粒子。多型分支過程把高爾頓-沃森推廣到 d 個型別，其中型 i 的個體會產生一個各型子代的隨機向量。令人驚異的事實是：整個次臨界／臨界／超臨界三分法依然存活，只是把單一的平均 m 換成一個平均矩陣的主特徵值，由 Perron-Frobenius 定理主宰。
設有 d 個型別。型 i 的個體其子代由 Z^d_{>=0} 中向量上的機率分布描述；令 M 為 d×d 平均矩陣，其元 M_(ij) = 型 i 親代之型 j 子女的期望數。則第 n 代期望族群的向量為矩陣冪：E[Z_n | Z_0] = Z_0 M^n（列向量）。若過程具正則性（某冪 M^k 所有元嚴格為正——每個型終能繁衍出每個型），Perron-Frobenius 定理給出一個單純、正的主特徵值 rho（譜半徑），並具嚴格為正的左、右特徵向量 u 與 v。此 rho 恰扮演 m 的角色：過程依 rho < 1、rho = 1、rho > 1 而分別為次臨界、臨界、超臨界。當 rho <= 1 時滅絕必然，rho > 1 時可能存活，且型相依的滅絕機率向量 q 解系統 q_i = f_i(q)，其中 f_i 是型 i 的多變量子代生成函數。在存活時，標準化族群向量與右特徵向量 v 對齊，且 Z_n / rho^n 收斂到 W 乘以 v，其中 W 是純量的凱斯滕-斯蒂格姆鞅極限（在多型 x log x 條件下非退化）。
重要性：這是生態學中矩陣族群模型（年齡結構族群的 Leslie 矩陣）、含多宿主類別的多型流行病模型、核反應爐的中子輸運（臨界）計算、以及具不同細胞型的細胞譜系模型背後的引擎。深層訊息是：長期成長率是單一個數，即 Perron 特徵值，而穩定的型組成是它的特徵向量。關鍵假設是正則性（M 的不可約性加上非週期性）：少了它，主特徵值可能不單純或其特徵向量不嚴格為正，乾淨的型平衡會失效，三分法須逐個分量類別陳述。切勿把單一 rho 的判準套用到可約的平均矩陣上。
一個含幼體（型 1）與成體（型 2）的年齡結構族群：幼體以機率 s 成為成體，每個成體產生 b 個幼體。平均矩陣 M 第一列為 (0, s)、第二列為 (b, 0)（列＝親代型，欄＝子代型），主特徵值 rho = sqrt(s b)。族群在 s b > 1 時成長、在 s b = 1 時臨界、在 s b < 1 時衰退——單一的「存活與生育之積」決定命運。
平均矩陣 M 的 Perron-Frobenius 特徵值 rho 取代純量平均 m；rho 與 1 的比較決定臨界性。
單一主特徵值判準需要正則性（M 不可約且非週期）。對可約的平均矩陣，主特徵值可能不單純或其特徵向量非正，臨界性須逐類別分析。