滅絕機率（extinction probability）

分支理論最初的問題是：血脈會永遠延續，還是註定絕嗣？滅絕機率 q 是族群最終到達 0 並停留於此的機率。優美的答案是：q 由單一方程決定——q 是子代生成函數的最小不動點——而那一條凸函數的幾何形狀便告訴你一切。

設 f 為子代生成函數，m = f'(1) 為平均。到第 n 代為止滅絕是事件 {Z_n = 0}，其機率為 f_n(0)（把 s = 0 代入 n 重迭代）。這些機率遞增到 q = P(終將滅絕) = lim_n f_n(0)。在遞迴式 f_(n+1)(0) = f(f_n(0)) 中令 n -> infinity，便得 q 滿足不動點方程 q = f(q)。因為 f 凸、遞增、且 f(1) = 1，方程 s = f(s) 在 [0, 1] 上要嘛只有單根 s = 1（當 m <= 1 時），要嘛有兩個根：一個較小者在 [0, 1) 與平凡者在 1（當 m > 1 時）。高爾頓-沃森定理（經 Steffensen 嚴格化）說：滅絕機率是 [0, 1] 中的「最小」根。具體地：若 m <= 1 則 q = 1（滅絕必然），若 m > 1 則 q < 1 是嚴格小於 1 的唯一根（族群以正機率 1 - q 存活）。

重要性：這是一切隨機建模中最乾淨的二分法，而「最小根」法則正是給出流行病存活機率（基本再生數 R_0 扮演 m 的角色）、隨機圖中巨大連通分量大小、以及核連鎖反應是否達臨界的同一套機制。一個常見錯誤是忘了 s = 1 「永遠」是不動點：定理的內涵在於選取較小的根，而非盲目求解 q = f(q)。第二個微妙處：邊界情形 p_1 = 1（每個個體恰有一個子女）有 m = 1，但族群永不滅絕，因此嚴謹的陳述會把這個退化的子代分布排除在「m <= 1 蘊含必然滅絕」之外。