模型擬合與驗證（model fitting and validation）

寫下一個微分方程模型只是工作的一半；模型含有未知的數字——一個增長率、一個傳播率、一個藥物清除常數——而它聲稱要描述一個真實系統。擬合就是選取這些數字，使模型符合你實際觀測到的數據之舉。驗證則是更難、更誠實之舉：追問擬合後的模型是否真正捕捉了現實，還是只不過回響了它被調校所依據的那同一批數據。兩者合起來，就是一個模型如何掙得被信任的資格。

擬合靠著最小化分歧而運作。你選取使模型預測曲線盡可能接近量測點的參數——最常見的是最小二乘法，選取使「預測與數據之差的平方和」最小的參數。對一個微分方程，你以試探的參數值解它（往往用數值方法），與數據比較，再調整直到擬合盡可能緊密。結果是一個校準後的模型，以具體數字取代了符號。

驗證才是學術誠實所棲身之處，因為一個模型可以擬合得漂亮卻仍一文不值。最大的罪過，是只憑模型與「用來擬合它的數據」吻合得多好來評判它——只要有足夠多的自由參數，你幾乎能擬合任何東西，包括雜訊。對策是以它從未見過的「新鮮」數據來檢驗模型：保留一些觀測，以其餘擬合，再拿預測對照保留的那一組。能預測它未經訓練之數據的模型，才真正捕捉到了什麼；只擬合其訓練數據的模型，可能只是把它背了下來（過擬合）。

把兩個真理擺在心頭最前。其一，好的擬合是必要而非充分的：吻合過去的數據並不保證預測未來，而較複雜的模型幾乎總是擬合得更好、卻往往泛化得更差。其二，由擬合萃取的參數帶有不確定性——數據可能與一整段數值範圍相容——所以誠實的模型報告的不只是一個最佳數字，還有它被釘得多牢。擬合回答「哪些參數？」；驗證回答真正要緊的問題，「我究竟該不該相信這個模型？」。