M/M/1 排隊（M/M/1 queue）

想像一位銀行櫃員、一個結帳台、一台印表機，前面排著一條等候線。顧客（或工作）隨機出現，一次一個依序被服務，然後離開。M/M/1 排隊是這個日常情境最簡單而可完全求解的模型。它古怪的名字是一種簡寫：第一個 M 表示到達是馬可夫的（一個卜瓦松過程），第二個 M 表示服務時間是馬可夫的（指數的，因而無記憶），而 1 表示單一伺服器，等候空間無限、先到先服務。

它其實是偽裝的生滅過程：「計數」是系統中的顧客數，一次出生是一次到達（速率 lambda），一次死亡是一次服務完成（有人在場時速率為 mu）。最重要的單一量是交通強度 rho = lambda/mu，即工作到達多快與被清掉多快的比值。若 rho < 1，系統穩定並穩定到一個穩態；若 rho >= 1，工作到達的速度至少與能被服務的速度一樣快，隊伍便無界地增長。在穩態下，系統中的人數服從幾何律，P(系統中有 n 人) = (1 - rho)*rho^n，由此乾淨的公式紛紛落下：系統中的平均人數是 rho/(1 - rho)，而由 Little 法則，顧客所花的平均時間（等待加服務）是 1/(mu - lambda)。

M/M/1 是通往排隊論的門戶，也是客服中心、網路與服務櫃台的有用初步估計。它最重要也最令人謙卑的教訓是非線性的壅塞：當 rho 逐漸逼近 1 時，平均隊長與等待並非平緩上升——它們會朝無限暴衝。一個以 90% 使用率運轉（rho = 0.9）的系統，裡頭平均已有 9 位顧客；推到 95% 就是 19。這正是為何「只要讓伺服器幾乎一直忙著」是個陷阱。誠實的提醒：真實到達不總是卜瓦松，真實服務也鮮少恰好是指數，所以 M/M/1 是一個乾淨的理想化——很有啟發性，但要在意識到其假設的前提下使用。