混合向前向後穩定性（mixed forward-backward stability）

純粹的向後穩定是個嚴苛的承諾：算出的答案是某個鄰近問題的「精確」答案，而不只是一個接近的答案。有些完全良好的演算法做不到這個承諾，卻仍然值得信任。混合向前向後穩定性就是涵蓋它們的、稍微放寬的標準：算出的答案「幾乎」就是某個「鄰近」問題的精確答案——在輸出與輸入兩端都允許一點小抖動。

謹慎地說：一個計算 y = f(x) 的演算法，若其算出的 y-hat 滿足 y-hat + delta-y = f(x + delta-x)，且「輸出擾動」||delta-y|| / ||y|| 與「輸入擾動」||delta-x|| / ||x|| 「兩者都」為單位捨入等級，則稱為混合向前向後穩定。對比兩個更純粹的概念：向後穩定強制 delta-y = 0（對擾動輸入完全正確）；向前穩定則會強制 delta-x = 0（對精確輸入幾乎正確）。混合穩定允許各有一小份，這就是為什麼它在真實的數值分析中是最自然、最常見的穩定保證——許多演算法即使達不到完整的向後穩定，也能達到它。

令人安心的事實是，混合穩定給出與向後穩定相同的實務準確度界：向前誤差仍為（條件數乘以單位捨入）等級。所以就「信任一個答案」而言，混合穩定的演算法基本上和向後穩定的一樣好——這份放寬換來了分析上的喘息空間，卻不犧牲準確度。一如既往，結果的準確度仍以問題的條件性所允許者為限；混合穩定就像它較純粹的表親一樣，認證的是演算法，不是問題。