混合與暖機（mixing and burn-in）

一條 MCMC 鏈是一個隨機漫步，要逐漸才安定下來、開始對正確的分布取樣。兩個實務問題決定它的輸出是否可信。其一，要多久它才忘掉起點、抵達目標分布？這段等待期是「暖機」（burn-in）。其二，一旦它在正確取樣，它漫遊過整個分布的速度有多快，而不是在一個地方磨蹭？這個速度就是「混合」（mixing）。兩者關乎同一個底層議題：樣本在時間上相關，而你必須理解這份相關，才能信任結果。

暖機是鏈的開頭那一段，你要「丟棄」它。你通常從某個任意點起步，那點可能落在低機率區域；早期樣本反映的是那個糟糕的起點而非目標，所以你丟掉前面一大塊（數百到數千步），只保留之後的。混合由「自相關」度量：一個樣本與它 k 步之前那個有多相像。混合良好的鏈很快去相關；積分自相關時間 tau 告訴你 N 個鏈步只值約 N / (2*tau) 個「獨立」樣本。這正是為何 MCMC 平均的誠實誤差棒約為 s * sqrt(2*tau / N)，比天真的獨立樣本公式膨脹了 sqrt(2*tau) 倍——忽略 tau，你就會嚴重高估自己的精度。

差勁的混合是 MCMC 的核心陷阱，而且危險，因為它可能是「隱形」的。混合緩慢的鏈——提議步長太小，或目標多峰使漫步被困在一個峰、從不跨到另一個——會產生在局部看似沒問題、卻完全錯過分布一部分的樣本，給出自信而錯誤的答案。沒有完美的收斂檢驗；實務者使用診斷工具，如從不同起點跑多條鏈並檢查它們一致（Gelman-Rubin R-hat 統計量）、檢視軌跡圖有無趨勢、觀察自相關的衰減。直白的真相：你永遠無法「證明」一條 MCMC 鏈已收斂，只能找不到它尚未收斂的證據，所以健康的懷疑與數條獨立的鏈是必要的。