矩陣對數與矩陣指數

對於對稱矩陣，矩陣函數透過特徵分解定義：若 M = U diag(lambda_i) U^T，則 f(M) = U diag(f(lambda_i)) U^T。矩陣對數 log(M)（僅當所有 lambda_i > 0，即 M 為 SPD 時才是實數）與矩陣指數 exp(S)（把任意對稱 S 映成一個 SPD 矩陣），是幾乎每一條黎曼式 BCI 公式背後的基本運算：測地距離、切空間的對數與指數映射、對數歐氏平均，以及矩陣平方根 M^{1/2} = U diag(sqrt(lambda_i)) U^T。

理解這些是逐特徵值的運算，能同時看清其成本與脆弱性：每一個都是 O(C^3) 的特徵分解，而當任一特徵值趨近零時對數會發散，這正是為何良態（收縮正則化）的共變異數如此重要。矩陣對數與矩陣指數在 SPD 錐與其切（對稱）空間之間互為反映射。